Повязане стан у двовимірному точковому потенціал — 3

0
3

Минулого разу ми спробували вирішити двовимірне рівняння Шредінгера з потенціалом у вигляді притягивательной 2D дельта-функції, і прийшли до висновку, що зв’язаного стану у ньому немає. Однак перешкоду виглядало настільки дрібним і технічним, що виникає бажання злегка змінити визначення точкового потенціалу (тобто використовувати не дельта-функцію, а щось інше), і тоді завдання повинна вирішитися.

Саме це ми зараз і зробимо.

Переформулювання завдання

Згадаймо, з чого ми починали. Ми хотіли навчитися описувати пов’язані стану в двовимірному потенціал нульового радіуса. Ми припустили, що такий потенціал можна описати дельта-функцією -Gδ(2)(r) з деяким кінцевим G. Але дельта-функція передбачає цілком конкретний граничний перехід. Спробуємо тоді переформулювати задачу так: ми хочемо знайти такий граничний перехід, який як і раніше дає потенціал нульового радіуса, при цьому в якому все добре обчислюється.

Для того, щоб зробити це, почнемо з прийому, який називається регуляризацией. Ми вводимо в завдання деякий параметр, за якого всі проміжні формули стають регулярними, коректно визначеними з математичної точки зору. Ми обчислюємо ті фізичні спостережувані, що хочемо, а потім робимо граничний перехід — спрямовуємо параметр регуляризації до свого граничного значення так, щоб у підсумку відновився старий метод обчислення. При цьому ми будемо уважно стежити за поведінкою відповіді, тобто фізичної спостерігається, і постараємося зрозуміти, що нам треба зробити з завданням, як її переформулювати, щоб відповідь прагнув до кінцевого, фізично осмисленому значенням.

Після виконання граничного переходу деякі проміжні величини стають нескінченними (тобто невизначеними), але це не повинно нас турбувати, оскільки ці величини ненаблюдаемы. Це цілком відповідає духу квантової механіки, в якій ми отримуємо право маніпулювати з проміжними величинами, що не відповідають ніяким спостережуваним. Головне, щоб маніпуляції були однозначними і щоб спостережувані були добре визначені.

Є безліч способів регуляризовать нашу задачу. Розглянемо найпростіший з обчислювальної точки зору спосіб — регуляризация в імпульсному представленні. Зводиться вона до простому правилу: всі інтеграли по модулю імпульсу тягнуться на верхній межі не до нескінченності, а до деякого дуже великого значення Λ, яке багато більше (невідомої поки, але кінцевою) κ. В цьому випадку інтеграл I2(κ) стає добре визначеним:

і в результаті виникає зв’язок між κ і g:

Це дозволяє нам «знайти» енергію зв’язаного стану:

Втім, у такому вигляді відповідь не годиться: енергія зв’язаного стану виражена не тільки через параметри завдання, але і через допоміжний регуляризационный параметр Λ. При знятті регуляризації (устремлінні Λ до нескінченності) енергія прагне до нескінченності.

Перенормировка константи зв’язку

Виправити цей недолік можна за допомогою вимоги, щоб параметр g, описує «силу тяжіння», не був фіксованим, а сам би змінювався з параметром регуляризації: g→gΛ. Причому ми хочемо, щоб він залежав від Λ таким чином, щоб в кінцевому виразі для енергії зв’язку вся залежність від цього допоміжного нефізичної параметра зникла.

Але величина безмежра, і тому якщо ми хочемо зробити її залежною від розмірного параметра Λ, то нам неминуче доведеться вводити ще один розмірний параметр (назвемо його μ), так щоб залежала тільки від відношення Λ/μ.

Можна легко переконатися, що для того, щоб Λ зникла з остаточної відповіді, можна вибрати в наступному вигляді:

Така форма 1/gΛ містить «розходиться» частина (яка буде прагнути до нескінченності при знятті регуляризації) і кінцеву частину, яку ми висловили через нову букву gR. Ця величина називається перенормированной константою зв’язку, на відміну від , параметра, що стояв у потенціалі, який прийнято називати неперенормированной, або затравочной константою зв’язку. (Словосполучення «константа зв’язку» в даній задачі просто означає зв’язок частинки із зовнішнім потенціалом, тобто силу, з якою вона чіпляється до точкової потенційній ямі.)

Варто відзначити, що gR не визначена однозначно, а залежить від вибору μ: збільшення і зменшення μ можна компенсувати зміною gR, і це буде та ж сама формула для .

Якщо це вираз підставити у формулу для енергії зв’язку, то дійсно вся залежність від Λ зникає, і отримаєте відповідь:

Ця відповідь не залежить від Λ, а значить, він «виживає» і при знятті регуляризації Λ→∞.

Залишилося зрозуміти, який фізичний зміст має обрана нами процедура регуляризації. Те, що ми не хочемо включати компоненти з імпульсами вище Λ, означає, що ми не розрізняємо» просторові коливання з довжиною хвилі менше, ніж 1/Λ. Так вийде, якщо ми будемо реально працювати не з справжнім точковим потенціалом, а з потенціалом, згладженим на масштабах 1/Λ. В імпульсному УШ замість константи gψ(0) у нас буде стояти чесний фур’є-образ потенціалу, тобто деяка функція від імпульсів, яка залишається константою аж до імпульсів порядку Λ, а потім різко спадає до нуля. Вона-то і ефективно обмежує область інтегрування у визначенні I2(κ).

Загальна картина

Зведемо тепер докупи те, що ми зробили.

Отже, ми вирішуємо задачу про пошук зв’язаного стану в потенціалі:

де gΛ(gR;μ) задається виписаної вище формулою, а fΛ(r) — якась компактна функція з характерною довжиною близько 1/Λ і з одиничним інтегралом. В межі Λ→∞ вона прагне до двовимірної дельта-функції, але із-за що стоїть попереду величини gΛ(gR;μ), яка прагне до нуля, в цілому дельта-функционного потенціалу не виходить. Виходить інший притягивательный потенціал нульового радіуса, який в деякому цілком конкретному значенні трохи слабкіше дельта-функції.

Цей потенціал щодо побудови залежить від перенормированной константи зв’язку gR і від розмірної величини μ. Це вільні (і взаємопов’язані) параметри завдання: ми задаємо ці числа, а потім будуємо через граничний перехід потенціал, який на них спирається. Побудований потенціал не є просто якоюсь функцією, і не зводиться до дельта-функції, це об’єкт з більш широкого класу. Однак у такій задачі вже є пов’язане стан з деякою кінцевою енергією, яка виражається через gR і μ. Це пов’язане стан треба обчислювати до виконання граничного переходу (так що позначення меж у формулі вище є чисто символічною), і тільки після цього виконувати граничний перехід в отриманій відповіді.

Варто ще раз підкреслити незвичайність переформулювання завдання. Зазвичай, коли ми формулюємо задачу, ми маємо на увазі, що всі величини в ній вже мають фізичний сенс («Пружинка маси m жорсткості k …«). У квантовій механіці це зазвичай теж працює — і потенціал, і маса частинки звичайно наблюдаемы. А тут ми змушені для коректного формулювання задачі використовувати якусь величину, яка точно не є спостережуваної (). Така ситуація якраз характерна для фізики елементарних частинок.

Саме таким чином нам вдається вирішити вихідну задачу, тобто побудувати математичну модель двовимірного точкового потенціалу зі зв’язаним станом.

Це рішення може породити відчуття незадоволеності: ми не вирахували енергію зв’язку, а фактично заклали її формулювання задачі, визначення потенціалу. Це відчуття, однак, зникає після того, як ми звернемося до інших завдань, пов’язаних з цим потенціалом. Скажімо, можна вивчати розсіяння налітаючих частинок на цьому потенціалі. Безрозмірна амплітуда розсіяння s-хвилі повинна якось залежати від енергії часток. Якщо б у нас була «чиста» дельта-функція, у нас не було б у розпорядженні ніяких обезразмеривающих параметрів, і значить, не було б можливості побудувати кінцеву амплітуду розсіювання. Зараз же, при правильному формулюванні, такий параметр є, так що амплітуда розсіювання буде залежати від безрозмірного відношення енергії налетающей частинки і енергії зв’язаного стану. Таким чином, ми дійсно змогли побудувати модель, в якій можна обчислювати фізичні спостерігаються.

Порушення масштабної інваріантності

Ще корисно зауважити ось що. Минулого разу ми звернули увагу, що УШ з «чистою» 2D дельта-функцією володіє масштабною інваріантністю. В результаті, якщо б якась кінцева ненульова енергія E була власним числом гамільтоніана, то і будь-яка інша кінцева ненульова E’ теж би була б власним значенням. Тобто вийшов би безперервний спектр від’ємних власних значень, що відповідають пов’язаним станів!

Так от, в описаній вище переформулировке завдання ми змушені для коректного визначення вводити розмірний параметр μ. Він закладається потенціал, і він призводить до того, що масштабна інваріантність потенціалу зникає. В результаті, тільки що виписаний аргумент вже не працює, і ніякого безперервного спектру (в негативній області енергій) не виходить.

Явище неминучого виникнення розмірного параметра в здавалося б безрозмірною задачі називається розмірною трансмутацией. Воно відіграє ключову роль у сучасній теорії сильних взаємодій, КХД. Там теж все починається лагранжіану, що містить тільки безрозмірні параметри. Однак потім виявляється, що просто так формулою його не поставиш, потрібно його доопределять, і тут-то і виникає відповідний розмірний параметр.

Явище порушення вихідної симетрії задачі в процесі регуляризації і ренормалізації називається аномалією. Аномалії теж відіграють важливу роль у сучасній фізиці елементарних частинок.

Взагалі, в цій квантовомеханической задачі доводиться використовувати на диво багато прийомів, які характерні саме для квантової теорії поля, на якій базується теоретична фізика елементарних частинок.

Література

Мається досить велика література, присвячена різним схемам регуляризації та іншим математичним тонкощам в цій та інших подібних завданнях (у завданнях з масштабно-інваріантними або з сингулярными потенціалами). Моє виклад близько до статті R. Jackiw, Delta function potentials in two-dimensional and three-dimensional quantum mechanics, зі збірки Diverse topics in theoretical and mathematical physics, 1991 (за цим посиланням доступні скани повного тексту статті). Цю статтю можна порекомендувати для наступного раунду» занурення в проблему.

Є також відносно недавня стаття H. E. Camblong, C. R. Ordonez, Renormalized Path Integral for the Two-Dimensional Delta-Function Interaction, Phys.Rev. A65 (2002) 052123 (вона ж hep-th/0110176), в якій розвивається підхід до неї з допомогою інтегралів по шляхах, а крім того, там є багато посилань на більш ранні роботи.

У статті R. Jackiw описаний також й інший, більш суворий з математичної точки зору підхід до цієї проблеми — через самозв’язані розширення. Наскільки я зрозумів, з обчислювальної точки зору цей підхід повністю еквівалентний більш фізичній підходу з перенормировкой, але він дозволяє уникнути маніпулювання розбіжними при знятті регуляризації виразами. Цей підхід почався з робіт Березіна і Фаддеева, і зараз є ціла книга S. Albeverio et al, «Solvable Models in Quantum Mechanics», Springer-Verlag, 1988, в якій цей метод застосовується систематично.

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Please enter your comment!
Please enter your name here