Повязане стан у двовимірному точковому потенціал — 2

0
3

Минулого разу я розповідав, що спроби з’ясувати на підставі співвідношення невизначеностей, існує пов’язане стан у двовимірному короткодействующем потенціал і яка його енергія, закінчуються нічим — наявність або відсутність стану розгледіти не вдається.

Зараз ми спробуємо вирішити цю задачу точно, замінивши короткодействующий потенціал двовимірної дельта-функцією.

Пов’язане стан в одновимірному дельта-функционном потенціал

Перш, ніж вирішувати двовимірну задачу, корисно знову звернутися до одновимірної дельта-функції. Запишемо одномірне станционарное рівняння Шредінгера для потенціалу V(x) = −Gδ(x):

Наше завдання — знайти енергію зв’язаного стану E, а також вид хвильової функції ψ(x).

Першим ділом обезразмерим завдання. Для цього введемо величину κ, що має розмірність хвильового вектора, і запишемо шукану (негативну) енергію як

тобто, замість енергії будемо шукати тепер κ. Після цього помножимо обидві частини УШ на 2m/h2, в результаті чого прийдемо до рівняння

Подивимося на отримане рівняння з точки зору розмірностей. Воно містить один єдиний заданий параметр, g, з розмірністю зворотного метра. Нам при вирішенні потрібно знайти невідому величину κ, теж має розмірність зворотного метра. Отже, з міркувань розмірності ми зобов’язані отримати відповідь у вигляді κ = кількість*g.

І дійсно, вирішуючи завдання стандартним чином (через умова на розрив першої похідної хвильової функції), отримуємо відповідь:

Це все звичайно проходиться на перших семінарах з квантової механіки. Однак для наших цілей корисно також подивитися, як ця задача вирішується в імпульсному представленні (точніше, в поданні хвильових чисел). Введемо фур’є-розкладу хвильової функції:

Перепишемо тепер обезразмеренное УШ в імпульсному представленні. Для цього домножим обидві частини на exp(ikx) і проинтегрируем по всіх x. Отримаємо:

Нагадаємо, що в цьому поданні k — це динамічна змінна, а κ — це шукана величина (як і сама хвильова функція φ(k)). У цьому виразі також зустрічається ψ(0) — значення координатної хвильової функції ψ(x) в нулі, тобто просто деяке число. Отримане рівняння вже не диференціальне, а алгебраїчне, і воно вирішує щодо φ(k) дуже просто:

Залишилося зрозуміти, чому одно κ. Для цього згадуємо, що згідно з визначенням фур’є-розкладу

Застосовуючи його до знайденої нами хвильової функції, отримуємо:

Тут окремою літерою I_1 визначений інтеграл

Оскільки ми хочемо отримати ненульову хвильову функцію, ми вважаємо, що ψ(0) не дорівнює нулю, тому на це число можна скоротити. В результаті отримуємо рівняння, що визначає κ (а отже, і енергію зв’язаного стану):

Інтеграл I1, зрозуміло, легко береться, і в результаті виходить κ = g/2.

Пов’язане стан у двомірній дельта-функції: спроба номер один

Тепер спробуємо застосувати ту ж саму логіку до двовимірної дельта-функції. Отже, ми шукаємо енергію зв’язаного стану E у УШ:

яке після обезразмеривания перетворюється в

На відміну від одновимірного випадку константа g тут вже безмежра. Це вже натякає на те, що наше завдання, мабуть, нерозв’язна — адже від нас вимагається знайти розмірну величину κ, хоча ніяких розмірних параметрів в задачі не залишилося!

Є й інша проблема, пов’язана, втім, з попередньою. І кінетичний, і потенційний член в цьому УШ є однорідними функціями координат, зі ступенем однорідності -2. Це означає, що якщо в операторів кінетичної і потенційної енергії змінити всі координати в n разів, то вийдуть ті ее самі оператори, поділені на n2. А з цього випливає, що якщо ми знайдемо якесь кінцеве значення κ, яке буде власним числом гамільтоніана, але і будь-яке число виду n*κ для будь-якого кінцевого n теж буде власними числом цього гамільтоніана! Іншими словами, якщо ми знайдемо пов’язане стан з якоюсь кінцевою енергією, то ми автоматично доведемо, що в потенціалі є також і пов’язані стану з будь енергією!

Ці нісенітниці вражають, але закриємо поки на них і продовжимо вирішувати завдання. Як і в одновимірному випадку, перейдемо в імпульсне представлення.

УШ запишеться в імпульсному представленні буде мати точно такий же вигляд, як і раніше:

в результаті чого ми приходимо до аналогічного рівняння на κ:

Отже, ми дійшли у вирішенні нашої задачі майже до кінця. Залишився останній крок — порахувати I2, — і ось в ньому-то заковика: цей інтеграл розходиться в області великих імпульсів (на фізичному жаргоні: «в ультрафіолетовій області»). Іншими словами, при якому кінцевому g цього рівняння не можна вдовольнити ні за яких κ. Тобто не вдається знайти формули, що зв’язує шуканий κ з заданим g. Виходить, що зв’язаного стану у двовимірному дельта-функционном потенціал з кінцевою G не існує.

Здавалося б, на цьому завдання і закінчилася: ми довели, що зв’язаного стану не існує. Однак згадаємо, ніж спочатку полягала наша задача. Ми хотіли навчитися описувати пов’язані стану в притягивательном потенціал нульового радіуса. Ми припустили, що такий потенціал можна описати дельта-функцією, але ж це далеко не єдиний спосіб описати «точковий» потенціал. Дельта-функція передбачає граничний перехід з деяким цілком конкретною умовою (інтеграл дорівнює одиниці). Так може бути можна змінити цей граничний перехід, щоб отримати інший потенціал нульового радіуса, в якому пов’язане стан буде існувати? Саме це ми і зробимо в третій частині.

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Please enter your comment!
Please enter your name here