Обертання закрученої хвилі

0
3

Я тут на днях написав дві популярних нотатки для «Елементів» про закручений світло і закручені електрони, і ще окремо про закручений рентген. Нотатки викликали певний інтерес і різні питання. В коментах до мого старого посту в блозі про закручені фотони було зроблено гарне спостереження: збільшення сили закрутки» супроводжується уповільненням обертання. Висновок, здавалося б, парадоксальний. Я подумав, що корисно буде винести в окремий пост пояснення, чому ніякого парадоксу тут немає. (Пост вийшов трошки технічний, з формулами, але що ж поробиш.)

Почнемо з обертання в класичній механіці. От є відомий приклад, за допомогою якого ілюструють закон збереження моменту імпульсу обертового тіла і роль моменту інерції. Фігурист на льоду швидко обертається, притиснувши руки до тіла, але як тільки він їх розведе в сторони, швидкість його обертання сильно сповільнюється, хоча його момент імпульсу майже не змінився. Так виходить тому, що момент імпульсу — це не просто кутова швидкість обертання, це момент інерції помножити на кутову швидкість. Як тільки ви розводите руки в сторони, ви різко збільшуєте момент інерції, отже, кутова швидкість повинна впасти.

Тепер наступний приклад, зовсім близько до нашого «парадоксу». Візьмемо планету на круговій орбіті навколо Сонця. Поступальна швидкість його руху по орбіті (перша космічна) і його кутова швидкість рівні

А момент імпульсу є

Тобто, якщо ви переведете ту ж планету на більш високу кругову орбіту, то кутова швидкість зменшиться, але момент імпульсу збільшиться, і, як бачите, ніякого парадоксу тут немає.

Тепер про те, що відбувається з закрученої хвилею. Для простоти забудемо про поляризацію, вона на сутність «парадоксу» не впливає. І ще будемо розглядати зовсім простий варіант закрученої хвилі — так званий бесселев пучок. Він являє собою суперпозицію плоских хвиль, що приходять під однаковими полярними кутами, але під різними азимутальными кутами до осі z, ну і з правильним налаштуванням відносних фаз. Бесселевы пучки хоч і менш физичны, ніж лагерр-гауссових пучки, які зазвичай в цих завданнях розглядаються, але вони простіше для вивчення та ілюстрації.

Так от, хвильова функція бесселева пучка в поперечній площині (полярні координати R, φ) має такий вигляд:
ψ(R,φ) ~ ei m φ Jm(κR),
де Jm — бесселева функція, а κ — модуль поперечного хвильового вектора будь плоских хвиль, складових бесселев пучок. Чим більше значення орбітального кутового моменту m, тим сильніше «закрутка». Але це також означає, що тим більше кількість кутів φ, на яких фаза хвилі приймає (в даний момент часу) якийсь вибране значення (наприклад, нуль) — їх теж рівно m. Для зручності на рис. 1 кольором показана фаза такої хвилі.

Рис. 1. Фаза закрученої хвилі з m=8 в поперечній площині (джерело зображення)

Тепер включимо залежність від часу (у цієї поперечній площині). За один період хвилі ця картинка провертається рівно настільки, щоб кожна точка дійшла до наступної точки з такою ж фазою, тобто на кут 2π/m. Іншими словами, кутова швидкість обертання цієї картинки дорівнює Ω = ω/m, де ω — це звичайна швидкість вимірювання фази хвилі з часом. Отже, чим більше момент імпульсу хвилі, тим менше кутова швидкість обертання!

А тепер подивимося уважніше на формулу і зауважимо, що значення m впливає не тільки на кутову залежність, але і на радіальну, адже там стоїть бесселева функція саме m-го порядку. Як виглядає графік бесселевой функції для різних m? Для прикладу на рис. 2 намальований квадрат функцій J2(x) і J20(x).

Рис. 2. Графіки квадратів J2(x) і J20(x).

Видно, що чим більше m, тим далі з центру відсувається перший, самий сильний максимум хвильової функції. З властивостей бесселевых функцій відомо, що перебуває цей максимум приблизно при x ≈ m.

Користуючись механічної аналогією, можна сказати, що з ростом m, пучка немов збільшується момент інерції (для чисто бесселевого пучка це некоректна заява, але це вже дрібниці). Так, при цьому швидкість обертання сповільнюється, але цей момент інерції з лишком компенсує це уповільнення. І в результаті орбітальний кутовий момент зростає пропорційно m якраз за рахунок цієї «перекомпенсації» (формули для механічної аналогії написати зовсім нескладно).

Така ось невелика тонкість.

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Please enter your comment!
Please enter your name here