Рішення задачки

0
1

Викладаю окремим постом рішення задачі про коливання бруска.

Спочатку — якісне обговорення.

На перший погляд здається, що брусок впаде при будь-якому відхиленні від положення (нестійкого) рівноваги. Та життєва інтуїція підказує, що відсутнє тертя тільки посилює проблему: без тертя брусок може звалитися, як перевернувшись, так і просто зісковзнувши. Тому перший крок до вирішення — це зрозуміти, де тут взагалі коливання і представити його собі наочно.

Насправді, відсутнє тертя — таке, здавалося б, невинне припущення — «розширює» свободу рухів бруска. Він тепер не просто хитається на колоді, але і може ковзати. Тобто, у бруска є дві ступеня свободи. Це означає, що треба спробувати уявити собі, що буде, якщо бруска надати ці два типи руху «у фазі» або «в протифазі». Трошки подумавши, можна відчути, що саме рух «в протифазі» має шанс бути коливанням.


На малюнку виже показані три моменту такого руху. Перша картинка — крайнє ліве положення: брусок відхилився вліво, але нахилився вправо, і в цей момент всі на мить завмерло. Центр мас знаходиться трошки лівіше точки опори. В такому стані брусок прагне зісковзнути вправо і почати прокручуватися вліво (тобто проти годинникової стрілки). Через четверь періоду він перейде в симетричне стан (середня картинка), при якому у нього буде кутова швидкість обертання вліво і лінійна швидкість зсуву вправо. Потім ще через чверть періоду він займе крайнє праве положення і на мить завмре в ньому, а потім знову почне ковзати-обертатися назад.

Виходить, що не брусок «коливається», а — як влучно висловилися на форумі linux.org.ru — «елозит» по колоді.

Ще один момент — про положення центру мас. Я поспостерігав, що в трьох різних місцях незалежно люди прийшли до припущення про те, що центр мас завжди знаходиться строго над точкою опори, — і саме тому брусок н падає. В рамках цього припущення все вважається і виходить такий собі відповідь. Проблема тільки в тому, що це припущення (здавалося б, таке «інтуїтивно-фізичне») невірно.

Ось найпростіший спосіб це зрозуміти. Якби центр мас був строго над точкою опори, то силя тяжкості не створювала б ніякого обертального моменту сил. Сила реакції опори теж не може створити обертальний момент, тому ніякого обертання ніколи б не було. Але брусок зобов’язаний обертатися! Апдейт: це був неправильний аргумент. Я мав на увазі моменти сил відносно точки опори, але дивитися їх потрібно відносно центру мас, а тут вже сила реакції опори має плече. Тому для простого пояснення найкраще помітити, що сили реакції опори є горизонтальна складова, і з-за неї центр мас не може весь час залишатися на вертикалі, а буде зміщуватися вбік.

Нарешті, зауваження про стійкість. Звичайно, брусок може і впасти. У системі з двома ступенями свободи існує два незалежних типу руху. Одне з них описано вище, а друге — коли зсув і нахил в один бік — призводить до того, що брусок тут же падає. Тому для того, щоб реалізувати саме коливання, треба так вивірено штовхнути брусок у початковий момент часу, щоб «розгойдати» тільки правильне, коливальний рух, а амплітуда «тікає» руху дорівнювала б строго нулю. У реальному експерименті цього, звичайно, добитися не можна. В результаті навіть мікроскопічно неправильне (наприклад, на один розмір атома) початкове відхилення буде експоненціально зростати, і брусок перекинеться максимум через пару періодів.

Кількісне рішення. Акуратне рішення полягає в стандартній послідовності: вибрати дві координати, що характеризують рух чесно записати кінетичну енергію і потенційну енергію бруска, спростити вирази в припущенні про те, що амплітуда руху багато менше розмірів бруска, записати кінетичну і потенційну енергію як квадратичні форми з матрицями M і K, скласти матрицю M−1 і знайти власні числа цієї матриці, які і будуть квадратами частоти коливання. Отримавши відповідь, в ньому можна вже зробити спрощення, що довжина бруска 2L багато більше його товщини, d.

Все це акуратно це написав у своєму блозі Григорій Кирилін (правда, не через матриці, а через рівняння четвертого порядку). А я тут напишу рішення простіше, відразу з урахуванням d << L. Це, звичайно, нечесно, т. к. в ході рішення буде використовуватися відповідь (в тому сенсі, що я буду знати, де і чим можна нехтувати), але зате формули повинні бути доступні і тим, вивчав механіку зовсім трохи.



Ось брусок, виведений з положення рівноваги. Дві координати, які характеризують рух, це x, зсув уздовж бруска, і α, кут нахилу. Саме вони повинні періодично і синхронно коливатися в часі. Обидві ці величини вважаються малими; зокрема, x << d.

Кінетична енергія рухомого та обертового тіла є сума кінетичних енергій центру мас і обертання тіла навколо центру мас:

Момент інерції I для зручності запишемо як ml02 (для палички довжини 2L введена тут величина дорівнює l0 ). У припущенні d << L швидкість центра мас дорівнює швидкості зміни x (саме тут полягає маленький обман: для цього висновку вже треба знати відповідь). Тому кінетичну енергію можна записати як

Тепер зручно замість кута α ввести змінну розмірності довжини:

Тоді кінетична енергія буде зовсім симетричної:

Потенційна енергія (відносно положення рівноваги) записується просто:

Так як кут малий, можна розкласти синус і косинус і записати

Знову нехтуючи d/L і замінюючи кут q, отримаємо

Тепер можна зробити поворот на 45 градусів між x і q, ввівши дві справжні ступеня свободи бруска, не пов’язані один з одним в цьому наближенні:

Тоді і кінетична і потенційна енергія запишуться як суми двох доданків: одне залежить тільки від q1, інше — тільки від q2:


Все, обчислення закінчені. Тепер дивимося на результат. Для координати q1 потенційна енергія виглядає правильним чином: квадратично зростає з відхиленням q1 від нуля. Це і є потрібний коливання. Його частота виходить діленням коефіцієнтів потенційної енергії і кінетичної енергії:

. А ось для коливання типу q2 потенційна енергія квадратично убуває із зростанням |q2| — це нестійкий рух, що приводить до перекидання бруска. Тому для того, щоб спостерігати коливання, треба зробити так, щоб q2=0, т. е. щоб q=x. Якщо брусок вивести з положення рівноваги так, щоб це виконувалося співвідношення, то брусок почне коливатися.

Післямова. Цю систему, звичайно, можна вивчати не тільки в межі малих коливань, але правда при великих відхиленнях формули стають істотно нелінійними. До речі, ця ж сама система вивчалася ось в цій статті: physics/0409154.

А ще у цій задачі є «практична» користь. Уявіть собі, що у вас кинули спис, а у вас для захисту немає нічого, крім іншого такого списа. Зате ви можете акуратно розрахувати рух списи і свою реакцію. Так от, коли спис буде підлітати до вас, ви зможете (тримаючи свій спис вертикально вгору двома руками) так провести їм з боку в бік, що ворожий спис опише схожу траєкторію ковзання-обертання древка вашого списи, розвернеться і поїде назад. Так можна відображати летять на вас списи 🙂 Для людини це, звичайно, нереально, але якийсь робот з швидкою реакцією цілком може впоратися з цим завданням.

Update: для більшої візуалізації викладаю анімацію, зроблену Олександром Макушкиным (за що йому спасибі!). Рухома картинка відкриється по кліку.

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Please enter your comment!
Please enter your name here